buktikan identitas trigonometri!

Pelajaran : Matematika
Kelas : X
Kategori : Trigonometri
Kata Kunci : Identitas Trigonometri

[tex] \cfrac{1+\text {sin x}}{\text{cos x}} + \cfrac{\text{cos x}}{1+\text{sin x}} [/tex]

Samakan penyebut kedua pecahan menjadi cos x(1 + sin x)
= [tex] \cfrac{(1+\text {sin x})^{2}}{\text{cos x}(1+\text{sin x})} + \cfrac{(\text{cos x})^{2}}{\text{cos x}(1+\text{sin x})} [/tex]

Satukan pembilang sehingga menjadi satu penyebut
= [tex] \cfrac{(1+\text {sin x})^{2}+(\text{cos x})^{2}}{\text{cos x}(1+\text{sin x})}[/tex]

Sederhanakan pembilang
= [tex]\cfrac{\text {sin}^{2}x+2 \text{sin} x+1+\text{cos}^{2}x}{\text{cos x}(1+ \text{sin x})}[/tex]
= [tex]\cfrac{1+\text {sin}^{2}x+\text{cos}^{2}x+2 \text{sin} x}{\text{cos x}(1+ \text{sin x})}[/tex]

Ingat bahwa sin² x + cos² x = 1, sederhanakan lagi pembilang
= [tex]\cfrac{1+1+2 \text{sin} x}{\text{cos x}(1+ \text{sin x})}[/tex]
= [tex]\cfrac{2+2 \text{sin} x}{\text{cos x}(1+ \text{sin x})}[/tex]

Dengan sifat distribusi, keluarkan 2 dari masing-masing suku pada pembilang
= [tex]\cfrac{2(1+\text{sin} x)}{\text{cos x}(1+ \text{sin x})}[/tex]

Karena pembilang dan penyebut punya faktor yang sama, bisa disederhanakan dengan menghilangkan faktor yang sama
= [tex]\cfrac{2}{\text{cos x}}[/tex]

Ingat bahwa [tex] \frac{1}{\text{cos x}} = \text{sec x} [/tex]
= [tex]2\times\cfrac{1}{\text{cos x}}\\[/tex]
= 2 sec x
Terbukti